Solución paso a paso de una ecuación diferencial de coeficientes homogéneos

Identificar si la siguiente ecuación diferencial es de coeficientes homogéneos, exacta o convertible a exacta y resolver.
$(x^{4}+y^{4})\frac{dx}{dy}-2x^{3}y=0;\space\s{y}(1)=1$

$(x^{4}+y^{4})\frac{dx}{dy}=2x^{3}y$	Pasamos el término $-2x^{3}y$ al otro lado a sumar
$(x^{4}+y^{4})dx=(2x^{3}y)dy$	Pasamos el $dy$ que estaba dividiendo al otro lado a multiplicar
$(x^{4}+y^{4})dx-(2x^{3}y)dy=0$	Pasamos todo el término $(2x^{3}y)dy$ a restar al otro lado para llevar la ecuación diferencial a la forma estándar: $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$ , recordemos que cuando estamos frente a ecuaciones diferenciales homogéneas o exactas, esta es la forma con la que se trabaja
$M(x,y)=x^4+y^4$	Identificamos la función $M(x,y)$ que es la que acompaña al $dx$ en la forma estándar descrita
$M(tx,ty)=(tx)^4+(ty)^4$	Para verificar si la función $M(x,y)$ es homogénea, reemplazamos la $x$ por $tx$ y la $y$ por $ty$
$M(tx,ty)=t^4x^4+t^4y^4$	Operamos las potencias indicadas apoyándonos en la propiedad de la potenciación que indica que $(ab)^n=a^nb^n$
$M(tx,ty)=t^4(x^4+y^4)$	Sacamos factor común $t^4$ con lo que podemos concluir que la función $M(x,y)$ es una función homogénea de grado 4, ya que $M(tx,ty)=t^\alpha M(x,y)$ y $\alpha$ indica el grado de la función
$N(x,y)=-2x^3y$	Identificamos la función $N(x,y)$ para verificar si es homogénea o no
$N(tx,ty)=2(tx)^3(ty)$	Igual que en el caso anterior: reemplazamos la $x$ por $tx$ y la $y$ por $ty$
$N(tx,ty)=-2(t^3x^3)(ty)$	Operamos la potencia indicada con la misma propiedad de la potenciación mencionada anteriormente
$N(tx,ty)=-2(t^4x^3y)$	Multiplicamos los dos paréntesis
$N(tx,ty)=t^4(-2x^3y)$	Organizamos la expresión para que quede de la forma $t^\alpha f(x,y)$ , por lo tanto concluímos que la función $N(x,y)$ también es función homogénea de grado 4 ya que $N(tx,ty)=t^\alpha N(x,y)$ . En general, decimos que la ecuación diferencial es homogénea de grado 4 ya que las funciones $M(x,y)$ y $N(x,y)$ son funciones homogéneas de grado 4
Sea $y=ux\to dy=udx+xdu$	Vamos a sustituir en la ecuación diferencial la $y$ por $ux$ y el $dy$ por $udx+xdu$
$[x^+(ux)^4]dx-2x^3(ux)(udx+xdu)=0$	Realizamos en la ecuación diferencial la sustitución indicada
$[x^4+(u^4x^4)]dx-(2ux^4)(udx+xdu)=0$	Operamos lo indicado
$(x^4dx+u^4x^4dx)-(2u^2x^4dx+2ux^5du)=0$	Aplicamos ley distributiva de la multiplicación
$x^4dx+u^4x^4dx-2u^2x^4dx-2ux^5du=0$	Destruímos paréntesis
$x^4dx+u^4x^4dx-2u^2x^4dx=2ux^5du$	Todo lo que tiene $dx$ a un lado y todo lo que tiene $du$ al otro
$x^4(1+u^4-2u^2)dx=2ux^5du$	En el lado izquierdo de la ecuación diferencial sacamos factor común $x^4dx$
$x^4(u^4-2u^2+1)dx=2ux^5du$	Organizamos el trinomio del paréntesis
$x^4(u^2-1)^2dx=2ux^5du$	Factorizamos el trinomio así: $(a-b)^2=a^2-2b+b^2$
$\frac{x^4}{x^5}dx=\frac{2u}{(u^2-1)^2}$	Organizamos la ecuación de tal manera que todo lo que tiene $x$ y $dx$ a un lado y todo lo que tiene $u$ y $du$ al otro
$\frac{1}{x}dx=\frac{2u}{(u^2-1)^2}du$	Simplificamos el lado izquierdo de la ecuación
$\int \frac{1}{x}dx=\int \frac{2u}{(u^2-1)^2}du$	Como ya separamos las variables, ya podemos integrar a ambos lados de la ecuación diferencial
$\int \frac{1}{x}dx=2\int \frac{u}{(u^2-1)^2}du$	Sacamos el $2$ de la integral del lado derecho por ser una constante que está multiplicando a la variable
$\ln x=2\int\frac{u}{(u^2-1)^2}du$	La integral del lado izquierdo es una integral directa que se resuelve por tablas: $\int \frac {du}{u}=\ln \|u\| + c$
Sea $z=u^2-1$	La integral del lado derecho se resuelve por sustitución algebraica haciendo una nueva variable $z$ igual a lo que está en el denominador pero sin tener en cuenta la potencia del polinomio completo
$dz=2udu$	Derivamos la variable $z$
$\frac{dz}{2}=udu$	Despejamos el producto $u\cdot du$ que es el que tenemos en el integral (el que queremos sustituir con esta expresión)
$\ln{x}=2\int \frac{dz}{2z^2}$	Sustituimos las expresiones en la integral
$\ln{x}=\frac{2}{2}\int\frac{dz}{z^2}$	Sacamos el 2 que estaba dividiendo dentro del integral
$\ln{x}=\int z^{-2}dz$	Simplificamos, y subimos $z^{-2}$ en el denominador como $z^2$ en el numerador, apoyándonos en la propiedad de los exponentes que indica que: $\frac{1}{a^n}=a^{-n}$
$\ln {x}=\frac{z^{-2+1}}{-2+1}+c$	Ahora si, resolvemos la integral directamente: $\int u^ndu=\frac{u^{n+1}}{n+1}+c$ para todo $n\neq -1$
$\ln {x}=\frac{z^{-1}}{-1}+c$	Simplificamos
$\ln {x}={-}\frac{1}{z^{1}}+c$	Organizamos la solución apoyándonos nuevamente en la misma propiedad de los exponentes explicada anteriormente
$\ln {x}={-}\frac{1}{z}+c$	Quitamos el $1$ que estaba como exponente de $z$ ya que está implícito
Pero $z=u^2-1$	Recordemos que para resolver esta integral sustituimos las variables que veníamos trabajando
$\ln x={-}\frac {1}{u^2-1}+c$	Sustituímos el valor de $z$ en la función solución de la ecuación diferencial
Pero $y=ux$	Nuestra ecuación diferencial original estaba en términos de las variables $x$ y $y$ y la solución que tenemos, todavía está en términos de $u$ , por lo tanto hay que recordar que hicimos esta sustitución al comienzo del ejercicio
$u=\frac {y}{x}$	Despejamos $u$ de la expresión anterior para sustituir este valor en la solución de la ecuación diferencial
$\ln {x}={-}\frac{1}{(\frac {y}{x})^2-1}+c$	Sustituímos el valor de $u$ en la solución de la ecuación diferencial
$\ln x = {-} {1}{\frac {y^2}{x^2}-1}+c$	Aplicamos en el denominador la propiedad de los exponentes que indica que $\left ( \frac{a}{b} \right )^n=\frac{a^n}{b^n}$
$\ln x = {-}\frac {1}{\frac {y^2-x^2}{x^2}}+c$	Común denominador $x^2$ en la expresión
$\ln {x} = {-}\frac {x^2}{y^2-x^2}+c$	Aplicamos "medios por extremos" ó "ley de la oreja" en el lado derecho de la solución. Hasta aquí tendríamos la solución de la ecuación diferencial en forma implícita.
Pero $y(1)=1$	Recordemos que el enunciado tenía esta condiciión de valor incial, que lo que nos está indicando es que en la solución, reemplazamos la $y$ por $y$ y la $x$ por $1$
$\ln {1}={-}\frac{1^2}{1^2-1^2}+c$	Reemplazamos en la solución de la ecuación diferencial, la condición de valor inicial. Inmediatamente notamos que el denominador (en el lado derecho de la función) nos va a dar cero, y la división por cero no está definida, por lo tanto podemos concluir que la región del plano $XY$ para la función solución de la ecuación diferencial no contiene al punto $y(1)=1$ ,es decir, en el punto $(1,1)$ , la ecuación diferencial no posee solución (teorema de picard)