Solución paso a paso de una ecuación diferencial exacta

Determinar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea o exacta y resolver
$\left ( x^2y^3-\frac{1}{1+9x^2} \right )dx+(x^3y^2)dy=0$

$M(x,y)=\left ( x^2y^3-\frac{1}{1+9x^2} \right )$	Identificamos la función $M(x,y)$ de manera inmediata ya que la ecuación diferencial se encuentra en la forma estándar para este tipo de ecuaciones: $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$
$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=3x^2y^2$	Derivamos parcialmente a la función $M(x,y)$ con respecto a $y$ para verificar si estamos tratando con una ecuación diferencial exacta
$N(x,y)=x^3y^2$	Identificamos la función $N(x,y)$
$\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}=3x^2y^2$	Derivamos parcialmente a la función $N(x,y)$ con respecto a $x$
$\frac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial N(x,y)}{\partial x}$	Como las dos derivadas parciales son iguales entonces podemos afirmar que la ecuación diferencial es una ecuación diferencial exacta
Primer paso: $f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$	Enunciamos la forma del primer paso en el proceso de solución de la ecuación diferencial
$f(x,y)=\int \left ( x^2y^3 - \frac{1}{1+9x^2} \right )dx+g(y)$	Reemplazamos los valores indicados por la forma del primer paso
$f(x,y)=\int x^2y^3dx-\int \frac{1}{1+9x^2}dx + g(y)$	Separamos en dos integrales debido a la propiedad de la integración que enuncia que: $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
$f(x,y)=y^3\int x^2dx-\int \frac{1}{1+9x^2}dx+g(y)$	Como la variable de integración es $x$ (pués nos los está indicando el $dx$ de cada integral), en el primer integral $y^3$ puede salir como una constante del primer integral ya que $y$ no es la variable de integración
$f(x,y)=\frac {y^3x^3}{3}-\int \frac {1}{1+9x^2}dx+g(y)$	La primera integral la resolvimos directamente aplicando: $\int u^ndu=\frac {u^{n+1}}{n+1}+c$ para todo $n\neq -1$
$f(x,y)=y^3x^3-\int \frac{1}{1+(3x)^2}dx+g(y)$	Expresamos $9x^2$ como $(3x)^2$ ya que $(3x)^2=9x^2$ Todo esto para llevar la integral a esta forma $\int \frac{du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}\tan ^{-1}\frac{u}{a}+c$
Sea $u=3x$	Para resolver esta integral necesitamos determinar con precisión quién es $u$ y quién es $a$ , por lo tanto definimos esta nueva variable
$du=3dx$	Derivamos la varible $u$
$\frac {du}{3}=dx$	Despejamos $dx$ para reemplazarlo en la integral
$\int \frac{1}{1+(u)^2}\cdot \frac{du}{3}$	Reemplazamos $dx$ y $(3x)$ por los nuevos valores
$\frac{1}{3}\int \frac {du}{1+u^2}du$	Sacamos el $3$ que divide al $du$ como $\frac {1}{3}$ y organizamos. Ahora si podemos aplicar $\int \frac {du}{a^2+u^2}=\frac{1}{a}\tan^{-1} \frac{u}{a}+c$
$\frac{1}{3}\tan^{-1} {u}$	La solución de esa segunda integral que venimos trabajando queda de esta forma
Pero $u=3x$	Como hicimos esta sutitución para resolver la integral, devemos devolver las variables originales
$\frac{1}{3}\tan^{-1} {3x}$	Sustituímos el valor de ${u}$ en la solución de la integral
$f(x,y)=\frac {y^3x^3} {3}-\frac{1}{3}\tan^{-1}3x+g(y)$	Retomamos completamente la función $f(x,y)$ agregando la solución de la segunda integral que acabamos de encontrar. Recordemos que nos desviamos para resolver el segundo integral de la función $f(x,y)$ unos pasos mas arriba
Segundo paso: $\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=N(x,y)$	Esta paso dice así: derive parcialmente la función $f(x,y)$ encontrada en el paso anterior con respecto a $y$ y ese resultado iguálelo a la función $N(x,y)$
$\frac {\partial}{\partial y}\left ( \frac {y^3x^3}{3}-\frac {1}{3}\tan^{-1}3x + g(y)\right )=x^3y^2$	Expresamos lo que nos dice el segundo paso
$\frac{3y^2x^3}{3}-0+{g}'(y)=x^3y^2$	Derivamos parcialmente el lado izquierdo de la ecuación diferencial e continuamos igualando a la función $N(x,y)$
${x^3y^2}+{g}'(y)=x^3y^2$	Simplificamos y organizamos el lado izquierdo
${g}'(y)=x^3y^2-{x^3y^2}$	Despejamos ${g}'(y)$
${g}'(y)=0$	Simplificamos
Tercer paso: ${g}'(y)=?$	El tercer paso consiste simplemente en identificar quién es ${g}'(y)$ , que por obvias razones ya lo encontramos en el paso anterior y ${g}'(y)$ nos dió que era igual a $0$ , esto es, ${g}'(y)=0$
Cuarto paso: ${g}(y)=\int {g}'(y)dy$	Esta paso indica que debemos integrar a ${g}'(y)$ para encontrar quién es $g(y)$
$g(y)=\int 0dy$	Reemplazamos $g'(y)$ en lo que nos indica este paso
$g(y)=c_{1}$	La derivada de una constante es cero, por lo tanto la integral de cero es una constante que llamaremos $c_{1}$
Quinto y último paso: $f(x,y)=\int M(x,y)dx+g(y)$	Este paso lo que nos indica es que debemos retornar al primer paso y sustituir todo lo que ya encontramos, teniendo en cuenta que la parte que dice que es $f(x,y)$ la reemplazamos por $c$
$c=\frac{x^3y^3}{3}-\frac{1}{3}\tan^{-1}3x+c_1$	Reemplazamos $f(x,y)$ por $c$ como lo indicamos anteriormente, después del signo "=" todo permanece tal cual lo dejamos al final del primer paso, exceptuando por $g(y)$ que lo encontramos en el cuarto paso y que lo reemplazamos aquí por $c_1$
$c-c_1=\frac{x^3y^3}{3}-\frac{1}{3}\tan^{-1}3x$	Pasamos $c_1$ a restar al otro lado
$c=\frac{x^3y^3}{3}-\frac{1}{3}\tan^{-1}3x$	Una constante $c$ menos otra constante $c_1$ continúa siendo otra constante. Aquí tenemos entonces la solución general de la ecuación diferencial en forma implícita

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