Solución paso a paso de una ecuación diferencial de variables separables

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Ecuaciones diferenciales

Resolver la siguiente ecuación diferencial de variables separables
$(1+x^2+y^2+x^2y^2)dy=y^2dx$

$[(1+x^2)+(y^2+x^2y^2)]dy=y^2dx$ Agrupamos los términos

$[(1+x^2)+y^2(1+x^2)]dy=y^2dx$ Sacamos factor común $y^2$ en el segundo paréntesis

$[(1+x^2)(1+y^2)]dy=y^2dx$ Sacamos nuevamente factor común $(1+x^2)$

$\frac {1+y^2} {y^2}dy=\frac {dx}{1+x^2}$ Separamos las variables: todo lo que tiene $x$ y $dx$ a un lado y todo lo que tiene $y$ y $dy$ al otro

$\int \frac {1+y^2} {y^2}dy=\int \frac {dx}{1+x^2}$ Integramos a ambos lados de la ecuación diferencial

$\int \left ( \frac{1} {y^2}+\frac {y^2}{y^2} \right )dy=\int \frac {dx}{1+x^2}$ Separamos el cociente de la integral del lado izquierdo apoyándonos en esta propiedad: $\frac {a\pm b} {c}=\frac {a}{c}\pm \frac {b}{c}$

$\int \left ( \frac{1} {y^2}+1 \right )dy=\int \frac {dx}{1+x^2}$ Simplificamos $\frac {y^2}{y^2}$ en el integral del lado izquierdo

$\int \frac{1} {y^2} dy+\int 1dy=\int \frac {dx}{1+x^2}$ Separamos la integral del lado izquierdo apoyándonos en esta propiedad del cálculo integral: $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx + \int g(x)dx$

$\int {y^{-2}} dy+\int 1dy=\int \frac {dx}{1+x^2}$ En la primera integral del lado izquierdo subimos $y^2$ que se encontraba en el denominador como $y^{-2}$ apoyándonos en la propiedad de los exponentes que indica: $\frac {1}{a^n}=a^{-n}$ , en este punto todas las integrales son directas (se solucionan por tablas)

$\frac {y^{-2+1}}{-2+1}+y=\tan^{-1}x+c$ La primera integral del lado izquierdo se soluciona con esta fórmula: $\int u^n du=\frac {u^{n+1}}{n+1}+c$ , la segunda integral del lado izquierdo se soluciona con la propiedad del cálculo integral que indica que: $\int dx=x$ y la integral del lado derecho se soluciona con esta fórmula: $\int \frac {du}{a^2+u^2}=\frac {1}{a}\tan ^{-1}\frac{u}{a}+c$

$\frac {y^{-1}}{-1}+y=\tan^{-1}x+c$ Simplificamos los exponentes y el denominador de la solución de la primera integral del lado izquierdo

${-}\frac {1}{y}+y=\tan^{-1}x+c$ Volvemos a bajar $y^{-1}$ como $y^{1}$ y así llegamos a la solución de la ecuación diferencial en forma implícita